Matemáticas financieras

reparto de utilidades

Se refiere a la distribución de las ganancias generadas por una empresa o inversión entre los socios, accionistas o partes involucradas, en función de criterios previamente establecidos. Esto se puede hacer con base en el capital aportado, el tiempo del aporte o una combinación de ambos. Se utilizan conceptos como proporcionalidad simple o compuesta, interés simple o compuesto, dependiendo del contexto.

1. Reparto Proporcional Simple

Cuando todos los socios aportan capital durante el mismo periodo de tiempo.

Fórmula:

Utilidad para el socio A=Capital ACapital total×Utilidad total\text{Utilidad para el socio A} = \frac{\text{Capital A}}{\text{Capital total}} \times \text{Utilidad total}Utilidad para el socio A=Capital totalCapital A​×Utilidad total

2. Reparto Proporcional Compuesto (capital y tiempo)

Cuando los socios aportan diferentes capitales por diferentes tiempos.

Fórmula:

Utilidad para el socio A=CA⋅tA∑(Ci⋅ti)×Utilidad total\text{Utilidad para el socio A} = \frac{C_A \cdot t_A}{\sum (C_i \cdot t_i)} \times \text{Utilidad total}Utilidad para el socio A=∑(Ci​⋅ti​)CA​⋅tA​​×Utilidad total

Donde:

CAC_ACA​ = Capital del socio A

tAt_AtA​ = Tiempo que permaneció el capital

∑(Ci⋅ti)\sum (C_i \cdot t_i)∑(Ci​⋅ti​) = Suma del producto capital por tiempo de todos los socios

Ejemplo:

Tres socios A, B y C aportan:

• A: $5,000 durante 12 meses

• B: $3,000 durante 8 meses

• C: $2,000 durante 4 meses

Utilidad total: $10,000

Se calcula el producto capital × tiempo:

• A: 5000 × 12 = 60,000

• B: 3000 × 8 = 24,000

• C: 2000 × 4 = 8,000

Suma total: 92,000

Utilidades:

• A: 60,00092,000⋅10,000=6,521.74\frac{60,000}{92,000} \cdot 10,000 = 6,521.7492,00060,000​⋅10,000=6,521.74

• B: 24,00092,000⋅10,000=2,608.70\frac{24,000}{92,000} \cdot 10,000 = 2,608.7092,00024,000​⋅10,000=2,608.70

• C: 8,00092,000⋅10,000=869.56\frac{8,000}{92,000} \cdot 10,000 = 869.5692,0008,000​⋅10,000=869.56

¿Quieres un ejemplo con interés compuesto o algún caso más específico?

Dijiste:

Progresiones

 las progresiones (aritméticas y geométricas) se utilizan para modelar diversos fenómenos como pagos periódicos, acumulación de capital o amortización de deudas. Aquí te explico los dos tipos principales:

🔹 1. Progresión Aritmética (PA)

Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante  al término anterior.

Fórmula del término n: an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n - 1) \cdot dan​=a1​+(n−1)⋅d

Suma de los primeros n términos: Sn=n2⋅(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d)Sn​=2n​⋅(2a1​+(n−1)d)

Aplicación financiera:

Pagos crecientes o decrecientes fijos en planes de ahorro o amortización.

🧮 Ejemplo:
Un préstamo se paga en 5 cuotas que aumentan en $100 cada vez, comenzando con $500:

• Cuotas: 500, 600, 700, 800, 900 → PA con a1=500a_1 = 500a1​=500, d=100d = 100d=100

• Total pagado:

S5=52(2⋅500+(5−1)⋅100)=52(1000+400)=52⋅1400=3500S_5 = \frac{5}{2}(2 \cdot 500 + (5 - 1)\cdot 100) = \frac{5}{2}(1000 + 400) = \frac{5}{2} \cdot 1400 = 3500S5​=25​(2⋅500+(5−1)⋅100)=25​(1000+400)=25​⋅1400=3500

🔹 2. Progresión Geométrica (PG)

Una progresión geométrica es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante (la razón rrr).

Fórmula del término n:

an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}an​=a1​⋅rn−1

Suma de los primeros n términos (si r≠1r \ne 1r=1):

Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}Sn​=a1​⋅r−1rn−1​

Aplicación financiera:

• Interés compuesto

• Crecimiento exponencial de inversiones

• Valor futuro de pagos periódicos

🧮 Ejemplo:
Una inversión de $1,000 crece un 10% anual durante 5 años:

PG con a1=1000a_1 = 1000a1​=1000, r=1.10r = 1.10r=1.10, n=5n = 5n=5

Valor final:

a5=1000⋅(1.10)4≈1000⋅1.4641=1464.10a_5 = 1000 \cdot (1.10)^{4} \approx 1000 \cdot 1.4641 = 1464.10a5​=1000⋅(1.10)4≈1000⋅1.4641=1464.10

Maestra: verónica Pardo Pecero